Расчет
электронно-ионного коллапса.
Гаршин А.В.
Для расчета электронно-ионного коллапса будем использовать уравнения двухжидкостной модели плазмы: [1]
уравнения непрерывности для электронной и ионной компонент,
(1)
(2)
и уравнения Эйлера.
(3)
(4)
Здесь ni – концентрация ионов, ne – концентрация электронов, , - скорость электронной и ионной компонент, - напряженность электрического поля,
- вектор индукции магнитного поля, e – заряд электрона, eZ – заряд иона, me и mi –
массы электронов и ионов, соответственно, с-скорость света.
Удобно от и перейти к потенциалам [2].
(5) при этом векторный потенциал и скалярный
потенциал
(6) находятся из волновых уравнений для запаздывающих потенциалов
(7).
(8)
Необходимо учитывать, что к векторному потенциалу из уравнения (7), который
дает магнитное поле объемных токов в плазме, необходимо добавить векторный потенциал поверхностных токов, текущих по внешней сфере реактора.
Следует отметить, что для электронов, в случае их энергий, близких ,
необходимо использовать релятивистский аналог уравнения (4).
Уравнения (1)-(8) являются нелинейными уравнениями в частных производных,
и описывают, в том числе, процессы автофокусировки и включения реактора
в рабочий режим.
Рассмотрим стационарный, установившийся режим работы реактора.
В этом случае, все частные производные по времени в уравнениях (1)-(8) равны нулю.
(9)
(10)
(11)
Далее, исходя из рассчитанной в приближенной модели картины силовых линий полного
магнитного поля, вблизи центра внутренней сферы полное магнитное поле обращается
в ноль. Поэтому пренебрежем его влиянием и рассмотрим чисто радиальные движения
электронов и ионов.
Рассмотрим сферически симметричную задачу. Пусть электроны с начальной кинетической энергией , (U-разность потенциалов между сферами), движутся
вдоль радиуса внутри облака ионов начальной концентрации ni0. Ток электронов
I= ампер. Сфера радиуса R=1 метр.
Из уравнений (9)-(10), при учете только радиального движения, в сферической системе координат следует условие
(12) где , - радиальные скорости ионов и
электронов.
(13)
К уравнениям (9)-(11) добавим закон сохранения энергии, релятивистский для электронов
и нерелятивистский для ионов.
(14)
(15)
- начальная кинетическая энергия ионов, по порядку величины равная
энергии ионизации.
Из уравнений (12)- (15) для плотности электронов и ионов , в зависимости от расстояния от центра r , получим
(16)
(17)
Здесь - безразмерный “потенциал”,
- безразмерная начальная энергия электронов, - начальная
концентрация ионов, .
Подставляя (16),(17) в уравнение Пуассона (11) и переходя к безразмерному расстоянию
от центра , получим нелинейную систему двух обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка для безразмерных «напряженности» поля и «потенциала».
(18)
(19)
где , , - безразмерные константы
.
см. – классический радиус электрона,
Вблизи внутренней поверхности внутренней сферы реактора напряженность поля обращается в нуль. Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной
и без потери общности его тоже можно положить равным нулю.
Таким образом, имеем начальные условия для уравнений (18), (19)
При
Численное интегрирование ведется на интервале от 1 до 0.
Следует отметить, как будет показано далее, решение системы (18)-(19), при
неограниченно возрастает, осциллируя с неограниченно уменьшающимся
периодом. Поэтому, чтобы избежать при этом неизбежной «разболтки» численного интегрирования, в (18)-(19) сделаем замену независимой переменной.
Данная замена - переход к логарифмическому масштабу при численном интегрировании.
При этом получим:
(20)
(21)
С начальными условиями
Интегрирование системы (20)-(21) ведется на интервале t от 0 до
с равномерным шагом. После интегрирования возвращаемся к исходной независимой
переменной x. Результаты приведены на графике.
Рис. 1. Безразмерный потенциал электрического поля
(В единицах от вольт)
Потенциал осциллирует от 0 до энергии электронов с все уменьшающимся периодом.
Напряженность поля при этом непрерывно возрастает.
Рис. 2 Безразмерная напряженность поля.
(В единицах от вольт/ метр)
Интересной особенностью зависимости потенциала от радиуса, (а также напряженности
поля, электронной и ионной плотностей), является то, что на каждом этапе осцилляции
отношение характерных размеров системы, а также напряженностей полей, плотностей
носит подобный характер с одним и тем же коэффициентом подобия для каждого цикла
сжатия. Система имеет самоподобный, «фрактальный» характер. Особенно заметна
«фрактальность» решения в логарифмическом и в двойном логарифмическом масштабах.
Рис. 3 Безразмерный потенциал электрического поля в логарифмическом масштабе
Рис. 4 Безразмерная напряженность электрического поля в двойном логарифмическом
масштабе.
Подставляя значения потенциала в (16)-(17) получим зависимость электронной и ионной
плотностей от расстояния до центра коллапса.
Рис. 5 Концентрации электронов и ионов в зависимости от безразмерного
расстояния от центра коллапса.
Представленные графики соответствуют условиям:
ток электронов I=10 килоампер, энергия ускоренных электронов 300 киловольт,
начальная энергия ионов =15электронвольт, начальная концентрация ионов см-3
Всего в объеме ионов.
Красный график – концентрация ионов
Синий – электронов. Наблюдается чередование электронных и ионных слоев непрерывно нарастающей плотности. Пики электронной и ионной плотностей соответствуют точкам остановки электронов и ионов соответственно. Плотность каждого слоя примерно на
порядок больше предыдущего.
Естественно, в реальности, все электроны и ионы будут иметь некоторый тепловой разброс по скоростям, что будет приводить к размыванию пиков плотности. Однако степень этого разброса, по порядку величины, равна отношению энергии теплового
движения к энергии упорядоченного движения , т.е. очень мала.
Как видно из Рис. 5, при электронно-ионном коллапсе плазмы достигается степень сжатия в огромное число раз. Естественно, процесс сжатия не может продолжаться до
бесконечности. Учет квантовомеханических эффектов, (соотношения неопределенностей и принципа Паули) показывает, что процесс сжатия останавливается, когда энергия Ферми электронного газа становится сравнимой с . Для ионов квантовомеханические
ограничения проявляются при несравнимо больших плотностях, чем для электронов, поэтому внутри последнего электронного слоя образуется последний ионный слой максимальной плотности.
Величина граничного импульса Ферми , до которого все состояния в электронном газе заполнены, следующим образом связана с плотностью электронного газа [3] .
(система СГС) (22)
С учетом выражения для релятивистского импульса электронов ,
(23)
составим таблицу достижимой плотности электронного газа. Плотность ионов при этом будет примерно на порядок больше.
Табл.1
eU(кЭв) |
0.003 |
10 |
100 |
300 |
500 |
700 |
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Первый столбец в 3 электрон-вольта приведен для сравнения. Концентрация электронов при этом примерно соответствует концентрации электронов в металлах с высокой электропроводностью. Уже при 500 кЭв степень сжатия будет такой, что плотность более чем в сто миллионов раз превысит плотность твердого тела, что делает возможным
осуществление многоядерных ("кластерных") реакций с участием электронов.
Литература: [1]- Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика. Том X –Физическая
кинетика, М."Наука".1979 г.
[2] Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика. Том II. - Теория поля,
, М."Наука".1979 г
[3] Ю.М Широков, Н.П. Юдин. Ядерная физика. М."Наука".1980 г.