Расчет электронно-ионного коллапса.

 

  Гаршин А.В.

 

 

Для расчета электронно-ионного коллапса будем использовать уравнения двухжидкостной модели плазмы: [1]

 

уравнения непрерывности для электронной и ионной компонент,

   (1)

   (2)                  

 

и уравнения Эйлера.

 

      (3)

       (4) 

 

Здесь ni – концентрация  ионов, ne – концентрация электронов, , - скорость электронной и ионной компонент,   - напряженность электрического поля,

 - вектор индукции магнитного поля, e – заряд электрона,  eZ – заряд иона, me и mi

массы электронов и ионов, соответственно,  с-скорость света.

 

Удобно от  и  перейти к потенциалам  [2].

      (5)      при этом векторный потенциал  и скалярный  

                                                 потенциал       

                                                      

(6)                                  находятся из волновых уравнений для  запаздывающих    потенциалов   

    (7).

 

 

                  (8)

Необходимо учитывать, что к векторному потенциалу   из  уравнения (7), который

дает магнитное поле объемных токов в плазме, необходимо добавить   векторный потенциал поверхностных токов, текущих по внешней сфере реактора.   

 

Следует отметить, что для электронов, в случае их энергий, близких  ,

необходимо использовать релятивистский аналог уравнения (4).  

 

Уравнения (1)-(8) являются нелинейными уравнениями в частных производных,

и описывают, в том числе, процессы автофокусировки и включения реактора

в рабочий режим.

 

Рассмотрим стационарный, установившийся режим работы реактора.

  В этом случае, все частные производные по времени в уравнениях (1)-(8) равны нулю.

 

   (9)

   (10)

  (11)

 

Далее, исходя из рассчитанной в приближенной модели картины силовых линий полного

магнитного поля, вблизи центра внутренней сферы полное магнитное поле обращается

в ноль. Поэтому пренебрежем его влиянием и рассмотрим чисто радиальные движения

электронов и ионов.

 

Рассмотрим сферически симметричную задачу. Пусть электроны с начальной кинетической энергией , (U-разность потенциалов между сферами), движутся

вдоль радиуса внутри облака ионов начальной концентрации ni0. Ток электронов

I= ампер. Сфера радиуса R=1 метр.

 

 Из уравнений (9)-(10), при учете только радиального движения, в сферической системе координат следует условие

 

        (12)          где       , - радиальные скорости ионов и 

                                                                                       электронов.

       (13)

 

К уравнениям (9)-(11) добавим закон сохранения энергии, релятивистский для электронов

и нерелятивистский для ионов.

 

     (14)

 

                            (15)

 

                                                               

 - начальная кинетическая энергия ионов, по порядку величины равная

энергии ионизации.

Из уравнений  (12)- (15) для плотности электронов  и ионов , в зависимости от расстояния от центра  r , получим

 

          (16)
                                                                             

 

                               (17)                                                             

 

Здесь  - безразмерный “потенциал”,

 - безразмерная начальная энергия электронов,  - начальная

концентрация ионов, .

 

Подставляя (16),(17) в уравнение Пуассона (11) и переходя к безразмерному расстоянию

от центра   ,  получим нелинейную систему двух  обыкновенных дифференциальных

уравнений первого порядка для безразмерных «напряженности» поля  и «потенциала».

 

     (18)

 

 

                                                                        (19)   

 

 

 

где  , , - безразмерные константы

 

            .

 

 

 см. – классический радиус электрона,

 

 

Вблизи внутренней поверхности внутренней сферы реактора напряженность поля обращается в нуль. Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной

и без потери общности его тоже можно положить равным нулю.

Таким образом, имеем начальные условия для уравнений (18), (19)

При   

Численное интегрирование ведется на интервале от 1 до 0.

   Следует отметить, как будет показано далее, решение системы (18)-(19), при

неограниченно возрастает, осциллируя с неограниченно уменьшающимся

периодом. Поэтому, чтобы избежать при этом неизбежной «разболтки» численного интегрирования, в (18)-(19) сделаем замену независимой переменной.

 

Данная замена - переход к логарифмическому масштабу при численном интегрировании.

При этом получим:

 

    (20)

 

                                        (21)

 

С начальными условиями    

 

Интегрирование системы (20)-(21) ведется на интервале t от 0 до 

с равномерным шагом. После интегрирования возвращаемся к исходной независимой

переменной x. Результаты приведены на графике.

Рис. 1. Безразмерный потенциал электрического поля

                                      (В единицах от    вольт)

 

Потенциал осциллирует от 0 до энергии электронов с все уменьшающимся периодом.

 

 

                        Напряженность поля при этом  непрерывно возрастает.

               Рис. 2   Безразмерная напряженность поля.

                           (В единицах от    вольт/ метр)

 

               

Интересной особенностью зависимости потенциала от радиуса, (а также напряженности

поля, электронной и ионной плотностей), является то, что на каждом этапе осцилляции

отношение характерных размеров системы, а также напряженностей полей, плотностей

носит подобный характер с одним и тем же коэффициентом подобия для каждого цикла

сжатия. Система имеет самоподобный, «фрактальный» характер.  Особенно заметна

«фрактальность» решения в логарифмическом и в двойном логарифмическом масштабах.

 

Рис. 3      Безразмерный потенциал электрического поля в логарифмическом масштабе

 

 

Рис. 4       Безразмерная напряженность электрического поля в двойном логарифмическом 

                   масштабе.

 

 

Подставляя значения потенциала в (16)-(17) получим зависимость электронной и ионной

плотностей от расстояния до центра коллапса.

               Рис. 5       Концентрации  электронов и ионов в зависимости от безразмерного   

                                расстояния от центра коллапса.

 

 

Представленные графики соответствуют условиям:

ток электронов I=10 килоампер, энергия ускоренных электронов 300 киловольт,

начальная энергия ионов =15электронвольт, начальная концентрация ионов    см-3

Всего в объеме  ионов.

 

Красный график – концентрация ионов

Синий – электронов. Наблюдается чередование электронных и ионных слоев непрерывно нарастающей плотности. Пики электронной и ионной плотностей соответствуют точкам остановки электронов и ионов соответственно. Плотность каждого слоя примерно на

порядок больше предыдущего.

      Естественно, в реальности, все электроны и ионы будут иметь некоторый тепловой разброс по скоростям, что будет приводить к размыванию пиков плотности. Однако степень этого разброса, по порядку величины, равна отношению энергии теплового

движения  к энергии упорядоченного движения  , т.е. очень мала.

 

 Как видно из Рис. 5, при электронно-ионном коллапсе плазмы достигается степень сжатия в огромное число раз. Естественно, процесс сжатия не может продолжаться до

бесконечности. Учет квантовомеханических эффектов, (соотношения неопределенностей и принципа Паули) показывает, что процесс сжатия останавливается, когда энергия Ферми электронного газа становится сравнимой с . Для ионов квантовомеханические

ограничения проявляются при несравнимо больших  плотностях, чем для  электронов, поэтому внутри последнего электронного слоя  образуется последний ионный слой максимальной плотности.

   Величина граничного импульса Ферми , до которого все состояния в электронном газе заполнены, следующим образом связана с плотностью электронного газа   [3] .

                                          (система СГС)         (22)     

С учетом выражения для релятивистского импульса электронов  ,

                                         (23)

составим таблицу достижимой плотности электронного газа. Плотность ионов при этом будет примерно на порядок больше.

 

Табл.1

eU(кЭв)

0.003

10

100

300

500

700

1000

 

 

Первый столбец в 3 электрон-вольта приведен для сравнения. Концентрация электронов при этом примерно соответствует  концентрации электронов в металлах с высокой электропроводностью. Уже при 500 кЭв степень сжатия будет такой, что плотность более чем в сто миллионов раз превысит плотность твердого тела, что делает возможным

осуществление многоядерных ("кластерных") реакций с участием электронов.  

 

Литература:  [1]- Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика. Том X –Физическая

                              кинетика, М."Наука".1979 г.                      

                                

                       [2] Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика. Том II. - Теория поля,

                                  , М."Наука".1979 г

 

                        [3]  Ю.М Широков, Н.П. Юдин. Ядерная физика.  М."Наука".1980 г.                                                        



Hosted by uCoz